Σχάμα ἄειδε θεά

Συνδυάζοντας το προοίμιο της Ιλιάδας με το απόφθεγμα του Πυθαγόρα «Σχάμα και βάμα» που σε ελεύθερη μετάφραση σημαίνει «κάθε νέο σχήμα είναι ένα βήμα προς τη γνώση» η στήλη φιλοδοξεί να ασχοληθεί με τους  τρόπους που οι τέχνες αναζητούν την έμπνευση στους δαιδάλους των μαθηματικών

Τα μαθηματικά του Ιουλίου Βερν

Η κολομβιάδα
Η κολομβιάδα

Αψηφούσε τις δυσκολίες, τόσο της επιστήμης των μεγεθών, που είναι η άλγεβρα, όσο και της επιστήμης των αριθμών που είναι η αριθμητική. Άξιζε να τον βλέπεις να χειρίζεται τα σύμβολα, τα συμβατικά σημάδια που απαρτίζουν την αλγεβρική σημειολογία, είτε αντιπροσωπεύουν –με τη μορφή γραμμάτων της αλφαβήτου– ποσότητες και μεγέθη, είτε υποδεικνύουν –με τη μορφή ζευγαρωμένων ή διασταυρούμενων ευθειών – τις σχέσεις που μπορούμε να αποδείξουμε μεταξύ των ποσοτήτων και τις πράξεις στις οποίες μπορούμε να τις υποβάλουμε.
Ω! οι συντελεστές, οι εκθέτες, τα ριζικά, οι δείκτες κι όλες οι άλλες διατάξεις που χρησιμοποιούνται σ’ αυτή τη γλώσσα! Πώς όλα αυτά τα σύμβολα αιωρούνταν κάτω από την πέννα του ή μάλλον κάτω από το κομμάτι της κιμωλίας που τρεμούλιαζε στη άκρη του σιδερένιου γάντζου του, αφού προτιμούσε να εργάζεται στο μαυροπίνακα! Κι εκεί, σ’ αυτή την επιφάνεια των δέκα τετραγωνικών μέτρων –ο Τζ.-T. Μάστον δεν μπορούσε να αρκεστεί σε λιγότερα– παραδιδόταν με πάθος στο ταμπεραμέντο του αλγεβριστή.
Έτσι περιγράφει ο Ιούλιος Βερν τον γραμματέα της Λέσχης των Πυροβολητών, η οποία, μετά το τέλος του Αμερικανικού εμφύλιου βρίσκεται σε απραξία και αναζητεί νέους τομείς δραστηριότητας. Ο μηχανικός Μάστον, γραφική φιγούρα και ήρωας των παρασκηνίων σε τρία μυθιστορήματα του Βερν (Από τη Γη στη Σελήνη, Γύρω από τη Σελήνη και Άνω – Κάτω) έχασε το ένα του χέρι κι ένα μέρος του κρανίου του όταν εξερράγη ένα από τα κανόνια που σχεδίαζε. Τα αντικατέστησε μ’ ένα σιδερένιο γάντζο κι ένα κομμάτι γουταπέρκα και συνέχισε να υπολογίζει με πάθος. Τι όμως; Μετά την επικράτηση των Βορείων, οι πυροβολητές της λέσχης συμφώνησαν να στρέψουν τα κανόνια τους ενάντια στη … Σελήνη. Αφού οι γήινοι στόχοι είχαν εκλείψει, αποφασίστηκε η Κολομβιάδα, το νέο κανόνι του Μάστον, να εκτοξεύσει μια οβίδα προς τον δορυφόρο της Γης. Μάλιστα, μετά από πρόταση του Γάλλου τυχοδιώκτη Μισέλ Αρντάν το βλήμα τροποποιήθηκε έτσι που να μπορεί να μεταφέρει τον ίδιο και δυο ακόμα θαρραλέους άνδρες, τον πρόεδρο Μπαρμπικάν και τον αντίπαλό του, λοχαγό Νίκολ, στα ανεξερεύνητα εδάφη του φεγγαριού.
Ας θυμηθούμε πως ένα ταξίδι στη Σελήνη αποτέλεσε το μυθοπλαστικό όνειρο του Γιοχάνες Κέπλερ ήδη από το 1608, όταν έγραψε τη νουβέλα Somnium (βλ. Χάρτης 5, https://www.hartismag.gr/hartis-5/klimakes/logotexnia-maohmatika ). ΟΙ βασικές αρχές της μεθόδου του Βερν ήταν ανάλογες με αυτές του Κέπλερ: Σύμφωνα με το νόμο της παγκόσμιας έλξης, δυο σώματα ασκούν το ένα στο άλλο ελκτική δύναμη με ένταση αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασής τους. Έτσι η Γη ασκεί σε κάθε σώμα που βρίσκεται στην επιφάνειά της μια ισχυρή δύναμη που το εμποδίζει να την εγκαταλείψει. Η Σελήνη ασκεί και αυτή ελκτική δύναμη στα σώματα που βρίσκονται πάνω στη Γη, που είναι ωστόσο πολύ μικρότερη, λόγω της απόστασης (σε αυτή την έλξη άλλωστε οφείλονται οι παλίρροιες). Όσο ένα σώμα απομακρύνεται από τη Γη και πλησιάζει στη Σελήνη, η έλξη της Γης εξασθενεί ενώ αυτή της Σελήνης ενισχύεται. Υπάρχει λοιπόν ένα σημείο όπου αυτές οι δυο έλξεις αλληλοεξουδετερώνονται (το σημείο αυτό ονομάζεται σήμερα σημείο Λαπλάς). Ο Ντουρακότους, ο σεληνιακός ταξιδευτής του Κέπλερ μεταφέρεται στο σημείο Λαπλάς χάρη στα μάγια της μητέρας του Φιολξίλδης και από εκεί, χάρη στην έλξη της Σελήνης, πέφτει ομαλά στην επιφάνειά της. Τα τεχνικά μέσα της εποχής του μεγάλου αστρονόμου, δεν του επέτρεπαν να φανταστεί μια πιο «ορθολογική» μετάβαση.
Αυτό το «έργο» το ανέλαβε ο Βερν στο Από τη Γη στη Σελήνη. Μέσα σε τρεις αιώνες η τεχνολογία είχε προχωρήσει κι έτσι τα μάγια της Φιολξίλδης αντικαταστάθηκαν από το κανόνι του Μάστον. Ο Μάστον (όπως άλλωστε και ο Ιούλιος Βερν, ο δημιουργός του), γνώριζε ότι ένα βλήμα που βάλλεται από κανόνι ακολουθεί παραβολική τροχιά· ήταν μάλιστα σε θέση να υπολογίσει με ακρίβεια την κλίση και την αρχική ταχύτητα που έπρεπε να έχει η Κολομβιάδα έτσι ώστε το βλήμα της, διαγράφοντας μια μεγάλη παραβολή, να καταλήξει στη Σελήνη. Το μόνο που δεν μπορούσε να προβλέψει ο μηχανικός ήταν –σύμφωνα με το μύθο που συνεχίστηκε στο Γύρω από τη Σελήνη– η ύπαρξη ενός μικροσκοπικού ουράνιου σώματος, μιας βολίδας, που βρέθηκε στο δρόμο του βλήματος. Τελικά η σύγκρουση, που θα σήμαινε το πρόωρο και άδοξο τέλος τόσο του εγχειρήματος, όσο και των θαρραλέων σεληνο-εξερευνητών δεν έλαβε χώρα. Όμως η βολίδα, ασκώντας τη δική της απειροελάχιστη μαγνητική έλξη, επηρέασε την προσχεδιασμένη τροχιά του σεληνιακού οχήματος, μετατρέποντάς την από παραβολή (μια ανοικτή καμπύλη που ξεκινά από τη Γη και καταλήγει στη Σελήνη) σε έλλειψη (μια κλειστή καμπύλη που ξεκινά από τη Γη, κάνει το γύρο της Σελήνης και επιστρέφει ξανά στη Γη!).

Ο Μάστον αγορεύων...
Ο Μάστον αγορεύων...
Vern 11

Ο Βερν εκμεταλλεύτηκε εδώ τα μαθηματικά δεδομένα που αφορούν στις δευτεροβάθμιες καμπύλες: Η έλλειψη και η παραβολή ανήκουν στην ίδια οικογένεια καμπυλών που προκύπτουν από την τομή ενός κώνου με ένα επίπεδο. Σύμφωνα με τη θεωρία του Νεύτωνα, οι τροχιές των σωμάτων που επηρεάζονται από τη βαρύτητα είναι αναγκαστικά κωνικές τομές. Το είδος της κωνικής τομής καθορίζεται από τη σχέση μεταξύ των μαζών των δύο σωμάτων, την απόστασή τους και τις αρχικές συνθήκες. Έτσι είναι μαθηματικά αποδεκτό, μια τροχιά που αρχικά είχε υπολογιστεί να είναι παραβολική να εξελιχτεί, εξ αιτίας μιας μικρής ποσοτικής μεταβολής σε ελλειπτική. Σ’ αυτή τη μετατροπή βασίζεται η ανάπτυξη της πλοκής και η τελική επιστροφή των ταξιδιωτών στη Γη.
Στο εύρημα του Βερν με τη βολίδα, εντοπίζουμε κι ένα ακόμα ενδιαφέρον χαρακτηριστικό: μια αμελητέα μάζα –αν τη συγκρίνει κανείς με τις μάζες της Γης και της Σελήνης– επηρεάζει καθοριστικά το είδος της τροχιάς. Έχουμε μήπως εδώ μια πρώτη υποψία «φαινομένου της πεταλούδας», σύμφωνα με το οποίο μια μικρή μεταβολή στις αρχικές συνθήκες προκαλεί μια τεράστια μεταβολή στο τελικό αποτέλεσμα; Αν αναλογιστεί κανείς πόσα από τα πράγματα που γέννησε η γόνιμη φαντασία του Βερν εξελίχθηκαν σε πραγματικότητες, δεν μπορούμε να αποκλείσουμε μια συνειδητή εικασία του μεγάλου παραμυθά - ταξιδευτή σχετικά με την επίδραση που μπορεί να έχει μια φαινομενικά αμελητέα μεταβολή σ’ ένα ασταθές σύστημα.
Μια δεύτερη ευτυχής συνάντηση του Βερν με τα μαθηματικά, πραγματοποιήθηκε στο Είκοσι χιλιάδες λεύγες κάτω από τη θάλασσα. Το υποβρύχιο του πλοιάρχου Νέμο, ο Ναυτίλος, φέρει το όνομα του κεφαλόποδου (Nautilus pompilius) που διαθέτει ένα καταπληκτικό σύστημα ανάδυσης - κατάδυσης. Με το ίδιο ακριβώς σύστημα έχει εφοδιάσει και ο Βερν το υποβρύχιο του Νέμο: Το σώμα του ναυτίλου είναι χωρισμένο σε 36 στεγανά διαμερίσματα που μπορεί να τα γεμίζει ή αδειάζει με νερό ανάλογα με το αν θέλει να κατέβει ή να ανέβει. Η διάταξη των στεγανών αυτών έχει τη μορφή λογαριθμικής έλικας και μάλιστα της λεγόμενης χρυσής λογαριθμικής έλικας που οικοδομείται με βάση τον αριθμό φ1,618 της χρυσής τομής. Η φύση δείχνει ιδιαίτερη συμπάθεια στη χρυσή έλικα, αφού εκτός από το σώμα του ναυτίλου τη συναντάμε στη μορφή ορισμένων κυκλώνων, στη διάταξη των αστέρων στο γαλαξία, στην ουρά του χαμαιλέοντα αλλά και στο… αυτί μας.

Vern12
1452963

Το έργο του Ιουλίου Βερν αποτελεί έναν ύμνο στις δυνατότητες και κυρίως στις ανεξάντλητες προοπτικές της επιστήμης, όπως αυτές εκφράστηκαν στην βιομηχανική επανάσταση του 19ου αιώνα. Είναι λοιπόν φυσικό, τα μαθηματικά, που αποτελούν το υπόβαθρο αυτής της επανάστασης να είναι διάσπαρτα λίγο πολύ παντού στο έργο του, άλλοτε άμεσα ορατά και άλλοτε κρυμμένα με περίτεχνο τρόπο. Θα τα βρούμε στην αποκρυπτογράφηση της μαρτυρίας του Arne Saknussemm, του Ισλανδού αλχημιστή που επινόησε ο Βερν για να οδηγήσει τους ήρωές του στο Ταξίδι στο κέντρο της Γης. Θα κάνουν την εμφάνισή τους στο Η μυστηριώδης νήσος, όπου ο μηχανικός Cyrus Smith χρησιμοποιεί τη μέθοδο των ομοίων τριγώνων του Θαλή για να εκτιμήσει το υψόμετρο ενός οροπεδίου. Θα τα χρησιμοποιήσει ο καθηγητής Aronnax, στο Είκοσι χιλιάδες λεύγες κάτω από τη θάλασσα, για να υπολογίσει τον όγκο και την επιφάνεια του Ναυτίλου και να εκτιμήσει το βάρος του νερού που εκτοπίζει – που ισούται όπως μας λέει ο Αρχιμήδης με την άνωση που δέχεται το βυθιζόμενο σώμα.

Βέβαια, ο προσεκτικός αναγνώστης θα διακρίνει πίσω από αυτές τις αναφορές στα μαθηματικά μια ειρωνική διάθεση, άλλοτε έκδηλη, όπως στη γκροτέσκα φιγούρα του μηχανικού Μάστον και άλλοτε διακριτική και υπαινικτική, όπως στο ωραίο πρόβλημα γεωμετρίας που περιλαμβάνεται στο μυθιστόρημα Το Παρίσι κατά τον εικοστό αιώνα. Ο Βερν, που έγραψε αυτό το μυθιστόρημα το 1860, προσπάθησε (με αρκετή επιτυχία όπως αποδεικνύεται εκ των υστέρων) να φανταστεί τη ζωή έναν αιώνα αργότερα, το 1960. Ο εκδότης του, Pierre-Jules Hetzel έκρινε ότι ένα τέτοιο φουτουριστικό μυθιστόρημα, δεν θα αποτελούσε απλά μια εκδοτική αποτυχία, αλλά κινδύνευε να αμαυρώσει γενικότερα τη φήμη του νεαρού τότε συγγραφέα. Ο Βερν δέχτηκε τη συμβουλή του Hetzel και «έθαψε» το μυθιστόρημα για να το ξεθάψει τελικά ο εγγονός του και να το εκδώσει το 1994.

Η αφήγηση αρχίζει στις 13 Αυγούστου 1960, ημέρα που η «Εταιρεία Εκπαιδευτικής Πίστης» απονέμει τα βραβεία των διαφόρων διαγωνισμών της. Στον διαγωνισμό των μαθηματικών, το πρόβλημα που τέθηκε ήταν το ακόλουθο

Δίνονται δυο κύκλοι, Ο και Ο΄. από ένα σημείο Α του κύκλου Ο άγονται δυο εφαπτόμενες στον κύκλο Ο΄ και γράφεται η χορδή που σχηματίζουν τα σημεία επαφής. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τομής της εφαπτόμενης στον Ο στο σημείο Α με την πιο πάνω χορδή, καθώς ο το Α διατρέχει τον κύκλο Ο.

O Βερν δεν δίνει τη λύση στο πρόβλημα, εμείς όμως την παραθέτουμε εδώ για χάρη των αναγνωστών του Χάρτη:

Καθώς το σημείο Α διατρέχει τον κύκλο Ο το σημείο Μ διατρέχει τις δυο κόκκινες καμπύλες που αποτελούν τον ζητούμενο γεωμετρικό τόπο.

Σχάμα ἄειδε θεά

ΒΡΕΙΤΕ ΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΤΟΥ Τεύκρου Μιχαηλίδη ΣΤΟΝ ΙΑΝΟ.

ΙΚΕΑ
 

αυτόν τον μήνα οι εκδότες προτείνουν: