Λογοτεχνία & Μαθηματικά

Σχάμα άειδε θεά

Συν­δυά­ζο­ντας το προ­οί­μιο της Ιλιά­δας με το από­φθεγ­μα του Πυ­θα­γό­ρα «Σχά­μα και βά­μα» που σε ελεύ­θε­ρη με­τά­φρα­ση ση­μαί­νει «κά­θε νέο σχή­μα εί­ναι ένα βή­μα προς τη γνώ­ση» η στή­λη φι­λο­δο­ξεί να ασχο­λη­θεί με τους τρό­πους που οι τέ­χνες ανα­ζη­τούν την έμπνευ­ση στους δαι­δά­λους των μα­θη­μα­τι­κών

Οι μαθηματικές τέχνες στο έργο του Μαρτιανού Καπέλα.

Στο προη­γού­με­νο τεύ­χος εί­δα­με πώς, με τη συγ­γρα­φή του Πε­ρί των γά­μων της Φι­λο­λο­γί­ας και του Ερ­μή, σ’ ένα κεί­με­νο όπου ποί­η­ση και πρό­ζα εναλ­λάσ­σο­νται, ο Martianus Minneus Felix Capella εγκαι­νί­α­σε, στις αρ­χές του 5ου μ.Χ. αιώ­να, την προ­σχη­μα­τι­κή μυ­θο­πλα­σία. Πα­ρα­κο­λου­θή­σα­με την επι­λο­γή του Ερ­μή να νυμ­φευ­θεί την Φι­λο­λο­γία που έφε­ρε ως προί­κα στο γά­μο της τις επτά ελεύ­θε­ρες τέ­χνες οι οποί­ες κλή­θη­καν να εμπλου­τί­σουν με τις αφη­γή­σεις τους το γα­μή­λιο συ­μπό­σιο. 
«Και τώ­ρα ανα­γνώ­στη», λέ­ει υιο­θε­τώ­ντας ξα­νά την έμ­με­τρη μορ­φή ο Κα­πέ­λα, «το μυ­θο­πλα­στι­κό μέ­ρος έχει ολο­κλη­ρω­θεί». Πα­ρα­με­ρί­ζο­ντας το μύ­θο, οι τέ­χνες, θα μας εξη­γή­σουν «με σο­βα­ρό­τη­τα τις έρευ­νές τους, χω­ρίς να πα­ρα­λεί­ψουν ωστό­σο τη δια­σκέ­δα­σή μας, με τη βο­ή­θεια των Μου­σών και της λύ­ρας του Απόλ­λω­να». 
Έτσι, η μια με­τά την άλ­λη, οι ελεύ­θε­ρες τέ­χνες πα­ρου­σιά­ζουν τους εαυ­τούς τους, δη­μιουρ­γώ­ντας μια  εγκυ­κλο­παί­δεια, την πρώ­τη που δί­νε­ται εν­σω­μα­τω­μέ­νη μέ­σα σε μια μυ­θο­πλα­σία. 

Sandro Botticelli,  Η Αφροδίτη παρουσιάζει έναν νέο στις επτά ελεύθερες τέχνες. Νωπογραφία. Σύμφωνα με κάποιους τεχνοκριτικούς δεν πρόκειται για την Αφροδίτη αλλά για την Αθηνά.
Sandro Botticelli, Η Αφροδίτη παρουσιάζει έναν νέο στις επτά ελεύθερες τέχνες. Νωπογραφία. Σύμφωνα με κάποιους τεχνοκριτικούς δεν πρόκειται για την Αφροδίτη αλλά για την Αθηνά.

Όμως, όσο εν­θου­σια­σμό προ­κα­λεί στον ση­με­ρι­νό δά­σκα­λο μια τό­σο και­νο­τό­μα και πρω­το­πο­ρια­κή μέ­θο­δος δι­δα­σκα­λί­ας, άλ­λη τό­ση με­λαγ­χο­λία του προ­κα­λεί το απελ­πι­στι­κά φτω­χό και συ­χνά λαν­θα­σμέ­νο πε­ριε­χό­με­νο της γνώ­σης που κλη­ρο­δο­τεί­ται στους σπου­δα­στές του Με­σαί­ω­να. Από τα αρι­στουρ­γή­μα­τα του Θα­λή, του Ευ­κλεί­δη, του Αρ­χι­μή­δη, του Απολ­λώ­νιου δεν έχει μεί­νει σχε­δόν τί­πο­τα. Θα χρεια­στούν πά­νω από χί­λια χρό­νια, μέ­χρι σο­φοί σαν τον Γα­λι­λαίο, τον Καρ­τέ­σιο και τον Νεύ­τω­να να σκύ­ψουν με πε­ρί­σκε­ψη και σε­βα­σμό σ’ όσα πρω­τό­τυ­πα έρ­γα έχουν δια­σω­θεί και να τα με­λε­τή­σουν ξα­νά από την αρ­χή πριν πραγ­μα­το­ποι­ή­σουν τη δι­κή τους επα­νά­στα­ση, που ού­τε λί­γο ού­τε πο­λύ εξο­βέ­λι­σε τη Γη από το κέ­ντρο του Σύ­μπα­ντος και θέ­σπι­σε νέ­ους, ενιαί­ους νό­μους για τη φύ­ση· νό­μους που ανα­κα­λύ­πτο­νται πει­ρα­μα­τι­κά και δια­τυ­πώ­νο­νται στην αυ­στη­ρή μα­θη­μα­τι­κή γλώσ­σα. Στο με­τα­ξύ όμως, ας ρί­ξου­με μια μα­τιά στα μα­θη­μα­τι­κά του Κα­πέ­λα.
Αφού ολο­κλη­ρω­θεί η πα­ρέ­λα­ση των τε­χνών του trivium (Γραμ­μα­τι­κή, Δια­λε­κτι­κή, Ρη­το­ρι­κή) εί­ναι η σει­ρά της Γε­ω­με­τρί­ας. Ο Μαρ­τια­νός αρ­χί­ζει την πα­ρου­σί­α­σή της μ’ έναν μα­κρο­σκε­λή ύμνο στην Αθη­νά· ο ύμνος, ξε­περ­νά τα όρια της θε­μι­τής –ακό­μα και προς μια θε­ό­τη­τα– κο­λα­κεί­ας και τρα­βά­ει σε μά­κρος, προ­κα­λώ­ντας την πα­ρέμ­βα­ση της Σά­τι­ρας,  που εί­ναι, όπως μας πλη­ρο­φο­ρεί ο συγ­γρα­φέ­ας, «μια προ­σε­κτι­κή ακρο­ά­τρια ολό­κλη­ρης της ιστο­ρί­ας μου».[1]
«Εκτός και αν κά­νω λά­θος, φί­λε μου Φέ­λιξ, έχεις ξο­δέ­ψει άσκο­πα λά­δι αρ­κε­τό για ν’ αλει­φτούν ολό­κλη­ρες πα­λαί­στρες». Στη συ­νέ­χεια, αφού τον πα­ρο­μοιά­σει με τον Μί­δα, τον προ­τρέ­πει να προ­χω­ρή­σει στην ου­σία της αφή­γη­σης. Υπά­κουα ο Μαρ­τια­νός – Φέ­λιξ σπεύ­δει να πα­ρα­χω­ρή­σει τη θέ­ση του στην Γε­ω­με­τρία, την πρώ­τη τέ­χνη του quadrivium. Τα σαν­δά­λια της εί­ναι φθαρ­μέ­να απ’ το πο­λύ περ­πά­τη­μα που έκα­νε για να γνω­ρί­σει και να με­τρή­σει την οι­κου­μέ­νη. Κρα­τά στο δε­ξί της χέ­ρι τον κα­νό­να του γε­ω­μέ­τρη και στο αρι­στε­ρό τη γή­ι­νη σφαί­ρα. Στο πρώ­το μέ­ρος της ομι­λί­ας της δια­πι­στώ­νου­με ότι ο Κα­πέ­λα συγ­χέ­ει τη γε­ω­με­τρία με τη γε­ω­γρα­φία: Αρ­χί­ζει δί­νο­ντάς μας τρεις αξιό­πι­στες απο­δεί­ξεις για τη σφαι­ρι­κό­τη­τα της Γης και αντι­κρού­ο­ντας την άπο­ψη του Ανα­ξα­γό­ρα ότι η Γη εί­ναι επί­πε­δη. Συ­νε­χί­ζει εξη­γώ­ντας μας (λαν­θα­σμέ­να) τη μέ­θο­δο του Ερα­το­σθέ­νη για τη μέ­τρη­ση της Γης. Τέ­λος πα­ρα­θέ­τει απλο­ποι­η­μέ­νη την Πτο­λε­μαϊ­κή, γε­ω­κε­ντρι­κή θε­ω­ρία. Ακο­λου­θεί μια λε­πτο­με­ρής πε­ρι­γρα­φή του γνω­στού κό­σμου. Απα­ριθ­μού­νται όλες τις χώ­ρες, από τις στή­λες του Ηρα­κλή (το Γι­βραλ­τάρ) μέ­χρι τον Ιν­δι­κό Ωκε­α­νό και από τις θά­λασ­σες της Αφρι­κής μέ­χρι τις πα­γω­μέ­νες ακα­τοί­κη­τες πε­ριο­χές του Βορ­ρά. Οι εκτε­νείς πε­ρι­γρα­φές κου­ρά­ζουν τους συν­δαι­τυ­μό­νες και ιδιαί­τε­ρα την Αφρο­δί­τη που προ­κα­λεί ένα επει­σό­διο. Μό­λις απο­κα­θί­στα­ται η τά­ξη, η Γε­ω­με­τρία ανα­λαμ­βά­νει, επι­τέ­λους, να μι­λή­σει για …γε­ω­με­τρία.[2] Αφού πε­ρι­γρά­ψει τον άβα­κα, προ­βαί­νει σε μια εν­δια­φέ­ρου­σα ανα­λο­γία ανά­με­σα στο δι­κό της αντι­κεί­με­νο και αυ­τό της Αριθ­μη­τι­κής: «Η ασώ­μα­τη και αό­ρα­τη πρώ­τη αρ­χή μοι­ρά­ζε­ται από κοι­νού ανά­με­σα σ’ εμέ­να και την αδελ­φή μου την Αριθ­μη­τι­κή.  Η δι­κή της αδιαί­ρε­τη μο­νά­δα εί­ναι η απαρ­χή των αριθ­μών· η δι­κή μου ονο­μά­ζε­ται ση­μείο αφού […] δεν διαι­ρεί­ται σε μέ­ρη». Συ­νε­χί­ζει ανα­φέ­ρο­ντας δυο κα­τη­γο­ρί­ες σχη­μά­των, τα επί­πε­δα και τα στε­ρεά. Τα ση­μεία δη­μιουρ­γούν γραμ­μές που έχουν μή­κος αλ­λά όχι πλά­τος και χω­ρί­ζο­νται σε ευ­θεί­ες, κυ­κλι­κές, ελι­κοει­δείς και κα­μπύ­λες (αυ­τή η τε­λευ­ταία κα­τη­γο­ρία πε­ρι­λαμ­βά­νει όλες τις γραμ­μές που δεν ανή­κουν στις τρεις άλ­λες κα­τη­γο­ρί­ες). Οι γραμ­μές οριο­θε­τούν επι­φά­νειες που έχουν μή­κος και πλά­τος αλ­λά όχι βά­θος.  Σει­ρά έχει η απα­ρίθ­μη­ση των επι­πέ­δων σχη­μά­των: τρί­γω­να, δια­φό­ρων ει­δών τε­τρά­πλευ­ρα, κύ­κλοι και ελ­λεί­ψεις πα­ρε­λαύ­νουν με ελ­λι­πείς και συ­χνά ανα­κρι­βείς ορι­σμούς που αντι­κα­το­πτρί­ζουν την πε­νία στην οποία έχει πε­ριέλ­θει η γε­ω­με­τρία στη Δυ­τι­κή Ρω­μαϊ­κή Αυ­το­κρα­το­ρία.
Για την επί­λυ­ση των προ­βλη­μά­των, η Γε­ω­με­τρία επι­κα­λεί­ται «την αδελ­φή της την Δια­λε­κτι­κή» ώστε να πα­ρα­θέ­σει τα πέ­ντε βή­μα­τα της δια­δι­κα­σί­ας: Πρό­τα­σις (δια­τύ­πω­ση του προ­βλή­μα­τος), διο­ρι­σμός (κα­τα­γρα­φή των προ­ϋ­πο­θέ­σε­ων ώστε το πρό­βλη­μα να έχει λύ­ση), κα­τα­σκευή, από­δει­ξις (ότι αυ­τό που κα­τα­σκευά­στη­κε πλη­ροί τις προ­ϋ­πο­θέ­σεις που τέ­θη­καν) και συ­μπέ­ρα­σμα (με τη συ­νή­θη κα­τά­λη­ξη  ὅπερ ἔδει ποιῆσαι).[3]

Geometria 1
Priapus Pompey

Η πα­ρου­σί­α­ση της Επι­πε­δο­με­τρί­ας κλεί­νει με τον ορι­σμό της ασυμ­με­τρί­ας, παρ­μέ­νο από το 10ο βι­βλίο των Στοι­χεί­ων του Ευ­κλεί­δη (Σύμ­με­τρα με­γέ­θη εί­ναι αυ­τά που έχουν κοι­νή μο­νά­δα με­τρή­σε­ως) και μια απα­ρίθ­μη­ση των 13 τύ­πων ασυμ­με­τρί­ας που ανα­φέ­ρο­νται στην 111η πρό­τα­ση του βι­βλί­ου και τους οποί­ους ο συγ­γρα­φέ­ας προ­φα­νώς δεν κα­τα­νο­εί.
Ακο­λου­θεί μια σύ­ντο­μη πα­ρου­σί­α­ση της στε­ρε­ο­με­τρί­ας με απα­ρίθ­μη­ση –χω­ρίς κα­νέ­να ορι­σμό ή πε­ρι­γρα­φή– των βα­σι­κών στε­ρε­ών. Η ομι­λία της Γε­ω­με­τρί­ας ολο­κλη­ρώ­νε­ται με μια ανα­φο­ρά στην αξιω­μα­τι­κή μέ­θο­δο: δια­τυ­πώ­νο­νται τα πέ­ντε αι­τή­μα­τα του Ευ­κλεί­δη εμπλου­τι­σμέ­να  μυ­στη­ριω­δώς με  ένα ακό­μα που απο­τε­λεί πα­ραλ­λα­γή του δεύ­τε­ρου και εί­ναι απο­λύ­τως πε­ριτ­τό.
Στη συ­νέ­χεια η Γε­ω­με­τρία δια­τυ­πώ­νει την πρό­θε­σή της να πα­ρου­σιά­σει την πρώ­τη πρό­τα­ση του Ευ­κλεί­δη δεί­χνο­ντας πώς κα­τα­σκευά­ζε­ται ένα ισό­πλευ­ρο τρί­γω­νο. Ωστό­σο το κοι­νό και ο συγ­γρα­φέ­ας (που εί­ναι αμ­φί­βο­λο αν εί­χε κα­τα­νο­ή­σει την κα­τα­σκευή του Ευ­κλεί­δη) επι­λέ­γουν το «στρί­βειν δια του χει­ρο­κρο­τή­μα­τος»: απο­θε­ώ­νουν τη Γε­ω­με­τρία, δεί­χνο­ντάς της ευ­σχή­μως ότι εί­ναι και­ρός να πη­γαί­νει!
Σει­ρά έχει τώ­ρα η Αριθ­μη­τι­κή. Ωστό­σο ο συγ­γρα­φέ­ας δεν ξε­χνά ότι το έρ­γο του εί­ναι μυ­θο­πλα­σία και συ­νε­πώς ότι οφεί­λει να βρει τρό­πους να δια­σκε­δά­σει το κοι­νό του ανά­με­σα στα δυο πιο «σκλη­ρά» μα­θή­μα­τα του πο­νή­μα­τός του. Έτσι η Ηδο­νή, πι­στή θε­ρα­παι­νί­δα της Αφρο­δί­της παίρ­νει εντο­λή από την κυ­ρά της να δια­τα­ρά­ξει την λό­για ατμό­σφαι­ρα, βά­ζο­ντας… λό­για. Πλη­σιά­ζει τον γα­μπρό και ψι­θυ­ρί­ζει στο θεϊ­κό αυ­τί του «Όσο αυ­τές οι ευ­ρυ­μα­θείς πα­ρά­νυμ­φες εντυ­πω­σιά­ζουν την ου­ρά­νια συ­ντρο­φιά, κερ­δί­ζο­ντας την εύ­νοια της Παλ­λά­δας, εσύ για­τί ανα­βάλ­λεις τις απο­λαύ­σεις το έρω­τα; […] Δεν εί­ναι κα­λύ­τε­ρα να τι­μή­σεις τον Πρί­α­πο;»[4] Ο Ερ­μής ωστό­σο δεν πέ­φτει στην πα­γί­δα. Δη­λώ­νει στην Ηδο­νή ότι θα πε­ρι­μέ­νει να τε­λειώ­σει η γιορ­τή πριν τι­μή­σει το νυ­φι­κό κρε­βά­τι του. Άλ­λω­στε η ανα­μο­νή θα ενι­σχύ­σει την ερω­τι­κή διά­θε­ση της νύ­φης, Βλέ­πο­ντας την απο­τυ­χία της Ηδο­νής να εκ­πλη­ρώ­σει τα σχέ­διά της η Αφρο­δί­τη ανα­λαμ­βά­νει η ίδια να χα­λά­σει τη γιορ­τή, επι­στρα­τεύ­ο­ντας όλη της την τέ­χνη για να στρέ­ψει πά­νω της τον ερω­τι­κό πό­θο του γα­μπρού. Εί­ναι η σει­ρά της Ήρας να επέμ­βει και με μια αυ­στη­ρή μα­τιά να ανα­κα­λέ­σει την θεά του έρω­τα στην τά­ξη.
Στο με­τα­ξύ η Αριθ­μη­τι­κή έχει φτά­σει και κά­νει την εντυ­πω­σια­κή της εί­σο­δο.  Ήδη με την εμ­φά­νι­σή της πα­ρα­πέ­μπει στην Πυ­θα­γό­ρεια φι­λο­σο­φία. Από το μέ­τω­πό της εκλύ­ε­ται μια ελά­χι­στα δια­κρι­τή, υπό­λευ­κη ακτί­να, που αντι­προ­σω­πεύ­ει τη μο­νά­δα. Η μο­νά­δα κα­τά τον Πυ­θα­γό­ρα δεν εί­ναι αριθ­μός αλ­λά απο­τε­λεί την απαρ­χή των αριθ­μών. Έτσι εί­ναι αντι­λη­πτή νοη­τά, όχι όμως μέ­σω των αι­σθή­σε­ων. Στην προ­έ­κτα­ση αυ­τής της ακτί­νας εκλύ­ε­ται μια δεύ­τε­ρη, ορα­τή, που αντι­προ­σω­πεύ­ει την δυά­δα. Ακο­λου­θούν μια τρί­τη, μια τέ­ταρ­τη, …, μέ­χρι και μια ένα­τη ακτί­να ώστε να σχη­μα­τι­στεί η ιε­ρή δε­κά­δα. Η Αριθ­μη­τι­κή χαι­ρε­τά τον Δία σχη­μα­τί­ζο­ντας με τα χέ­ρια της τον αριθ­μό 717 και η Αθη­νά σπεύ­δει να εξη­γή­σει ότι αυ­τός ο αριθ­μός εί­ναι το όνο­μα του πα­τέ­ρα των θε­ών(;). Αρ­κε­τά ακό­μα στοι­χεία στην εμ­φά­νι­ση και τις κι­νή­σεις της Αριθ­μη­τι­κής επι­δέ­χο­νται αριθ­μο­λο­γι­κές ερ­μη­νεί­ες – ανά­ξιες ιδιαί­τε­ρης προ­σο­χής. Στη συ­νέ­χεια δί­νο­νται σπο­ρα­δι­κά επι­λεγ­μέ­νες προ­τά­σεις, δα­νει­σμέ­νες από τα αριθ­μη­τι­κά βι­βλία των Στοι­χεί­ων, με αρ­κε­τά λά­θη και ασά­φειες και κυ­ρί­ως χω­ρίς κα­νέ­ναν κε­ντρι­κό προ­σα­να­το­λι­σμό και κα­μιά εσω­τε­ρι­κή λο­γι­κή. Ο ανα­γνώ­στης θα δια­βά­σει για πα­ρά­δειγ­μα τους ορι­σμούς των άρ­τιων και πε­ριτ­τών αριθ­μών, μα­ζί με τις στοι­χειώ­δεις ιδιό­τη­τές τους, θα μά­θει ποιοι αριθ­μοί εί­ναι πρώ­τοι και πώς τα­ξι­νο­μού­νται οι σύν­θε­τοι αριθ­μοί σε επί­πε­δους και στε­ρε­ούς, ανά­λο­γα με το πλή­θος των πρώ­των διαι­ρε­τών τους. Εί­ναι σα­φές ότι ο κα­θα­ρά θε­ω­ρη­τι­κός χα­ρα­κτή­ρας αυ­τού του αντι­κει­μέ­νου δη­μιουρ­γεί τε­ρά­στιες δυ­σκο­λί­ες κα­τα­νό­η­σης στον συγ­γρα­φέα. Σ’ αυ­τό το κε­φά­λαιο, πε­ρισ­σό­τε­ρο από οπου­δή­πο­τε αλ­λού εί­ναι εμ­φα­νές ότι «ἀπέ­σβε­το καὶ λά­λον ὕδωρ».
Αναμ­φί­βο­λα το Πε­ρί των γά­μων της Φι­λο­λο­γί­ας και του Ερ­μή απο­τε­λεί μια εντυ­πω­σια­κή παι­δα­γω­γι­κή και­νο­το­μία. Από­δει­ξη ότι πα­ρά τις ατέ­λειες και την επι­στη­μο­νι­κή πε­νία που χα­ρα­κτη­ρί­ζει κυ­ρί­ως τα μα­θη­μα­τι­κά του κε­φά­λαια, υπήρ­ξε ένα κεί­με­νο ιδιαί­τε­ρα δη­μο­φι­λές, αφού σώ­ζο­νται σή­με­ρα 244 χει­ρό­γρα­φα αντί­τυ­πα – αριθ­μός εντυ­πω­σια­κός αν ανα­λο­γι­στεί κα­νείς ότι πο­λύ πιο ση­μα­ντι­κά έρ­γα σώ­ζο­νται σε ελά­χι­στα μό­νο χει­ρό­γρα­φα. Δια­δρα­μά­τι­σε κα­θο­ρι­στι­κό ρό­λο στην κα­τα­νο­μή και την κα­τη­γο­ριο­ποί­η­ση των γνω­στι­κών αντι­κει­μέ­νων κα­τά τον Με­σαί­ω­να και δια­τή­ρη­σε ζω­ντα­νή, αν όχι την ίδια τη γνώ­ση, του­λά­χι­στον τη φλό­γα για μά­θη­ση.

Ariomhtikh Copy 1
ΣΧΕΤΙΚΑ ΚΕΙΜΕΝΑ
 

αυτόν το μήνα οι εκδότες προτείνουν: