Λογοτεχνία & Μαθηματικά

Σχάμα άειδε θεά

Συνδυάζοντας το προοίμιο της Ιλιάδας με το απόφθεγμα του Πυθαγόρα «Σχάμα και βάμα» που σε ελεύθερη μετάφραση σημαίνει «κάθε νέο σχήμα είναι ένα βήμα προς τη γνώση» η στήλη φιλοδοξεί να ασχοληθεί με τους τρόπους που οι τέχνες αναζητούν την έμπνευση στους δαιδάλους των μαθηματικών

Οι μαθηματικές τέχνες στο έργο του Μαρτιανού Καπέλα.

Στο προηγούμενο τεύχος είδαμε πώς, με τη συγγραφή του Περί των γάμων της Φιλολογίας και του Ερμή, σ’ ένα κείμενο όπου ποίηση και πρόζα εναλλάσσονται, ο Martianus Minneus Felix Capella εγκαινίασε, στις αρχές του 5ου μ.Χ. αιώνα, την προσχηματική μυθοπλασία. Παρακολουθήσαμε την επιλογή του Ερμή να νυμφευθεί την Φιλολογία που έφερε ως προίκα στο γάμο της τις επτά ελεύθερες τέχνες οι οποίες κλήθηκαν να εμπλουτίσουν με τις αφηγήσεις τους το γαμήλιο συμπόσιο. 
«Και τώρα αναγνώστη», λέει υιοθετώντας ξανά την έμμετρη μορφή ο Καπέλα, «το μυθοπλαστικό μέρος έχει ολοκληρωθεί». Παραμερίζοντας το μύθο, οι τέχνες, θα μας εξηγήσουν «με σοβαρότητα τις έρευνές τους, χωρίς να παραλείψουν ωστόσο τη διασκέδασή μας, με τη βοήθεια των Μουσών και της λύρας του Απόλλωνα». 
Έτσι, η μια μετά την άλλη, οι ελεύθερες τέχνες παρουσιάζουν τους εαυτούς τους, δημιουργώντας μια  εγκυκλοπαίδεια, την πρώτη που δίνεται ενσωματωμένη μέσα σε μια μυθοπλασία. 

Sandro Botticelli,  Η Αφροδίτη παρουσιάζει έναν νέο στις επτά ελεύθερες τέχνες. Νωπογραφία. Σύμφωνα με κάποιους τεχνοκριτικούς δεν πρόκειται για την Αφροδίτη αλλά για την Αθηνά.
Sandro Botticelli, Η Αφροδίτη παρουσιάζει έναν νέο στις επτά ελεύθερες τέχνες. Νωπογραφία. Σύμφωνα με κάποιους τεχνοκριτικούς δεν πρόκειται για την Αφροδίτη αλλά για την Αθηνά.

Όμως, όσο ενθουσιασμό προκαλεί στον σημερινό δάσκαλο μια τόσο καινοτόμα και πρωτοποριακή μέθοδος διδασκαλίας, άλλη τόση μελαγχολία του προκαλεί το απελπιστικά φτωχό και συχνά λανθασμένο περιεχόμενο της γνώσης που κληροδοτείται στους σπουδαστές του Μεσαίωνα. Από τα αριστουργήματα του Θαλή, του Ευκλείδη, του Αρχιμήδη, του Απολλώνιου δεν έχει μείνει σχεδόν τίποτα. Θα χρειαστούν πάνω από χίλια χρόνια, μέχρι σοφοί σαν τον Γαλιλαίο, τον Καρτέσιο και τον Νεύτωνα να σκύψουν με περίσκεψη και σεβασμό σ’ όσα πρωτότυπα έργα έχουν διασωθεί και να τα μελετήσουν ξανά από την αρχή πριν πραγματοποιήσουν τη δική τους επανάσταση, που ούτε λίγο ούτε πολύ εξοβέλισε τη Γη από το κέντρο του Σύμπαντος και θέσπισε νέους, ενιαίους νόμους για τη φύση· νόμους που ανακαλύπτονται πειραματικά και διατυπώνονται στην αυστηρή μαθηματική γλώσσα. Στο μεταξύ όμως, ας ρίξουμε μια ματιά στα μαθηματικά του Καπέλα.
Αφού ολοκληρωθεί η παρέλαση των τεχνών του trivium (Γραμματική, Διαλεκτική, Ρητορική) είναι η σειρά της Γεωμετρίας. Ο Μαρτιανός αρχίζει την παρουσίασή της μ’ έναν μακροσκελή ύμνο στην Αθηνά· ο ύμνος, ξεπερνά τα όρια της θεμιτής –ακόμα και προς μια θεότητα– κολακείας και τραβάει σε μάκρος, προκαλώντας την παρέμβαση της Σάτιρας,  που είναι, όπως μας πληροφορεί ο συγγραφέας, «μια προσεκτική ακροάτρια ολόκληρης της ιστορίας μου».[1]
«Εκτός και αν κάνω λάθος, φίλε μου Φέλιξ, έχεις ξοδέψει άσκοπα λάδι αρκετό για ν’ αλειφτούν ολόκληρες παλαίστρες». Στη συνέχεια, αφού τον παρομοιάσει με τον Μίδα, τον προτρέπει να προχωρήσει στην ουσία της αφήγησης. Υπάκουα ο Μαρτιανός – Φέλιξ σπεύδει να παραχωρήσει τη θέση του στην Γεωμετρία, την πρώτη τέχνη του quadrivium. Τα σανδάλια της είναι φθαρμένα απ’ το πολύ περπάτημα που έκανε για να γνωρίσει και να μετρήσει την οικουμένη. Κρατά στο δεξί της χέρι τον κανόνα του γεωμέτρη και στο αριστερό τη γήινη σφαίρα. Στο πρώτο μέρος της ομιλίας της διαπιστώνουμε ότι ο Καπέλα συγχέει τη γεωμετρία με τη γεωγραφία: Αρχίζει δίνοντάς μας τρεις αξιόπιστες αποδείξεις για τη σφαιρικότητα της Γης και αντικρούοντας την άποψη του Αναξαγόρα ότι η Γη είναι επίπεδη. Συνεχίζει εξηγώντας μας (λανθασμένα) τη μέθοδο του Ερατοσθένη για τη μέτρηση της Γης. Τέλος παραθέτει απλοποιημένη την Πτολεμαϊκή, γεωκεντρική θεωρία. Ακολουθεί μια λεπτομερής περιγραφή του γνωστού κόσμου. Απαριθμούνται όλες τις χώρες, από τις στήλες του Ηρακλή (το Γιβραλτάρ) μέχρι τον Ινδικό Ωκεανό και από τις θάλασσες της Αφρικής μέχρι τις παγωμένες ακατοίκητες περιοχές του Βορρά. Οι εκτενείς περιγραφές κουράζουν τους συνδαιτυμόνες και ιδιαίτερα την Αφροδίτη που προκαλεί ένα επεισόδιο. Μόλις αποκαθίσταται η τάξη, η Γεωμετρία αναλαμβάνει, επιτέλους, να μιλήσει για …γεωμετρία.[2] Αφού περιγράψει τον άβακα, προβαίνει σε μια ενδιαφέρουσα αναλογία ανάμεσα στο δικό της αντικείμενο και αυτό της Αριθμητικής: «Η ασώματη και αόρατη πρώτη αρχή μοιράζεται από κοινού ανάμεσα σ’ εμένα και την αδελφή μου την Αριθμητική.  Η δική της αδιαίρετη μονάδα είναι η απαρχή των αριθμών· η δική μου ονομάζεται σημείο αφού […] δεν διαιρείται σε μέρη». Συνεχίζει αναφέροντας δυο κατηγορίες σχημάτων, τα επίπεδα και τα στερεά. Τα σημεία δημιουργούν γραμμές που έχουν μήκος αλλά όχι πλάτος και χωρίζονται σε ευθείες, κυκλικές, ελικοειδείς και καμπύλες (αυτή η τελευταία κατηγορία περιλαμβάνει όλες τις γραμμές που δεν ανήκουν στις τρεις άλλες κατηγορίες). Οι γραμμές οριοθετούν επιφάνειες που έχουν μήκος και πλάτος αλλά όχι βάθος.  Σειρά έχει η απαρίθμηση των επιπέδων σχημάτων: τρίγωνα, διαφόρων ειδών τετράπλευρα, κύκλοι και ελλείψεις παρελαύνουν με ελλιπείς και συχνά ανακριβείς ορισμούς που αντικατοπτρίζουν την πενία στην οποία έχει περιέλθει η γεωμετρία στη Δυτική Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία.
Για την επίλυση των προβλημάτων, η Γεωμετρία επικαλείται «την αδελφή της την Διαλεκτική» ώστε να παραθέσει τα πέντε βήματα της διαδικασίας: Πρότασις (διατύπωση του προβλήματος), διορισμός (καταγραφή των προϋποθέσεων ώστε το πρόβλημα να έχει λύση), κατασκευή, απόδειξις (ότι αυτό που κατασκευάστηκε πληροί τις προϋποθέσεις που τέθηκαν) και συμπέρασμα (με τη συνήθη κατάληξη  ὅπερ ἔδει ποιῆσαι).[3]

Geometria 1
Priapus Pompey

Η παρουσίαση της Επιπεδομετρίας κλείνει με τον ορισμό της ασυμμετρίας, παρμένο από το 10ο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη (Σύμμετρα μεγέθη είναι αυτά που έχουν κοινή μονάδα μετρήσεως) και μια απαρίθμηση των 13 τύπων ασυμμετρίας που αναφέρονται στην 111η πρόταση του βιβλίου και τους οποίους ο συγγραφέας προφανώς δεν κατανοεί.
Ακολουθεί μια σύντομη παρουσίαση της στερεομετρίας με απαρίθμηση –χωρίς κανένα ορισμό ή περιγραφή– των βασικών στερεών. Η ομιλία της Γεωμετρίας ολοκληρώνεται με μια αναφορά στην αξιωματική μέθοδο: διατυπώνονται τα πέντε αιτήματα του Ευκλείδη εμπλουτισμένα  μυστηριωδώς με  ένα ακόμα που αποτελεί παραλλαγή του δεύτερου και είναι απολύτως περιττό.
Στη συνέχεια η Γεωμετρία διατυπώνει την πρόθεσή της να παρουσιάσει την πρώτη πρόταση του Ευκλείδη δείχνοντας πώς κατασκευάζεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Ωστόσο το κοινό και ο συγγραφέας (που είναι αμφίβολο αν είχε κατανοήσει την κατασκευή του Ευκλείδη) επιλέγουν το «στρίβειν δια του χειροκροτήματος»: αποθεώνουν τη Γεωμετρία, δείχνοντάς της ευσχήμως ότι είναι καιρός να πηγαίνει!
Σειρά έχει τώρα η Αριθμητική. Ωστόσο ο συγγραφέας δεν ξεχνά ότι το έργο του είναι μυθοπλασία και συνεπώς ότι οφείλει να βρει τρόπους να διασκεδάσει το κοινό του ανάμεσα στα δυο πιο «σκληρά» μαθήματα του πονήματός του. Έτσι η Ηδονή, πιστή θεραπαινίδα της Αφροδίτης παίρνει εντολή από την κυρά της να διαταράξει την λόγια ατμόσφαιρα, βάζοντας… λόγια. Πλησιάζει τον γαμπρό και ψιθυρίζει στο θεϊκό αυτί του «Όσο αυτές οι ευρυμαθείς παράνυμφες εντυπωσιάζουν την ουράνια συντροφιά, κερδίζοντας την εύνοια της Παλλάδας, εσύ γιατί αναβάλλεις τις απολαύσεις το έρωτα; […] Δεν είναι καλύτερα να τιμήσεις τον Πρίαπο;»[4] Ο Ερμής ωστόσο δεν πέφτει στην παγίδα. Δηλώνει στην Ηδονή ότι θα περιμένει να τελειώσει η γιορτή πριν τιμήσει το νυφικό κρεβάτι του. Άλλωστε η αναμονή θα ενισχύσει την ερωτική διάθεση της νύφης, Βλέποντας την αποτυχία της Ηδονής να εκπληρώσει τα σχέδιά της η Αφροδίτη αναλαμβάνει η ίδια να χαλάσει τη γιορτή, επιστρατεύοντας όλη της την τέχνη για να στρέψει πάνω της τον ερωτικό πόθο του γαμπρού. Είναι η σειρά της Ήρας να επέμβει και με μια αυστηρή ματιά να ανακαλέσει την θεά του έρωτα στην τάξη.
Στο μεταξύ η Αριθμητική έχει φτάσει και κάνει την εντυπωσιακή της είσοδο.  Ήδη με την εμφάνισή της παραπέμπει στην Πυθαγόρεια φιλοσοφία. Από το μέτωπό της εκλύεται μια ελάχιστα διακριτή, υπόλευκη ακτίνα, που αντιπροσωπεύει τη μονάδα. Η μονάδα κατά τον Πυθαγόρα δεν είναι αριθμός αλλά αποτελεί την απαρχή των αριθμών. Έτσι είναι αντιληπτή νοητά, όχι όμως μέσω των αισθήσεων. Στην προέκταση αυτής της ακτίνας εκλύεται μια δεύτερη, ορατή, που αντιπροσωπεύει την δυάδα. Ακολουθούν μια τρίτη, μια τέταρτη, …, μέχρι και μια ένατη ακτίνα ώστε να σχηματιστεί η ιερή δεκάδα. Η Αριθμητική χαιρετά τον Δία σχηματίζοντας με τα χέρια της τον αριθμό 717 και η Αθηνά σπεύδει να εξηγήσει ότι αυτός ο αριθμός είναι το όνομα του πατέρα των θεών(;). Αρκετά ακόμα στοιχεία στην εμφάνιση και τις κινήσεις της Αριθμητικής επιδέχονται αριθμολογικές ερμηνείες – ανάξιες ιδιαίτερης προσοχής. Στη συνέχεια δίνονται σποραδικά επιλεγμένες προτάσεις, δανεισμένες από τα αριθμητικά βιβλία των Στοιχείων, με αρκετά λάθη και ασάφειες και κυρίως χωρίς κανέναν κεντρικό προσανατολισμό και καμιά εσωτερική λογική. Ο αναγνώστης θα διαβάσει για παράδειγμα τους ορισμούς των άρτιων και περιττών αριθμών, μαζί με τις στοιχειώδεις ιδιότητές τους, θα μάθει ποιοι αριθμοί είναι πρώτοι και πώς ταξινομούνται οι σύνθετοι αριθμοί σε επίπεδους και στερεούς, ανάλογα με το πλήθος των πρώτων διαιρετών τους. Είναι σαφές ότι ο καθαρά θεωρητικός χαρακτήρας αυτού του αντικειμένου δημιουργεί τεράστιες δυσκολίες κατανόησης στον συγγραφέα. Σ’ αυτό το κεφάλαιο, περισσότερο από οπουδήποτε αλλού είναι εμφανές ότι «ἀπέσβετο καὶ λάλον ὕδωρ».
Αναμφίβολα το Περί των γάμων της Φιλολογίας και του Ερμή αποτελεί μια εντυπωσιακή παιδαγωγική καινοτομία. Απόδειξη ότι παρά τις ατέλειες και την επιστημονική πενία που χαρακτηρίζει κυρίως τα μαθηματικά του κεφάλαια, υπήρξε ένα κείμενο ιδιαίτερα δημοφιλές, αφού σώζονται σήμερα 244 χειρόγραφα αντίτυπα – αριθμός εντυπωσιακός αν αναλογιστεί κανείς ότι πολύ πιο σημαντικά έργα σώζονται σε ελάχιστα μόνο χειρόγραφα. Διαδραμάτισε καθοριστικό ρόλο στην κατανομή και την κατηγοριοποίηση των γνωστικών αντικειμένων κατά τον Μεσαίωνα και διατήρησε ζωντανή, αν όχι την ίδια τη γνώση, τουλάχιστον τη φλόγα για μάθηση.

Ariomhtikh Copy 1
ΙΚΕΑ
 

αυτόν τον μήνα οι εκδότες προτείνουν: