Mη μαδάς τη μαργαρίτα, έστω κι αν είναι χάρτης!

«Η επίπεδη εικόνα της γήινης σφαίρας σε σμίκρυνση» είναι η απλούστερη απάντηση στο απλό ερώτημα «τί είναι χάρτης;». Η απλούστερη, αλλά ίσως πιο συγκεκριμένη και πεζή από τους πολλών βαθμών ελευθερίας λογοτεχνικούς και φιλοσοφικούς ορισμούς ή τους λιγότερων βαθμών ελευθερίας αλλά πολύπλοκους ακριβέστερους επιστημονικούς. Συνήθως την απλούστερη απάντηση στο απλό ερώτημα ακολουθεί το εξίσου απλό ερώτημα «κι αυτό πώς γίνεται;». Και η απλούστερη απάντηση γίνεται όλο και πιο σύνθετη από την προηγούμενη. Και αν ο περίεργος συνεχίσει την ακολουθία των απλών ερωτημάτων τότε θα δέχεται πολυπλοκότερες απαντήσεις που ή θα τον απομακρύνουν τελικά από τις απορίες του επειδή θα βαρεθεί ή θα μπερδευτεί ή θα κεντρίσουν την περιέργειά του, που μακραίνει την ακολουθία των ερωτήσεων. Γιατί ως γνωστόν η περίεργη, ο περίεργος ή η περιέργεια δεν είναι μόνο κίτρινη ή μπλε, δεν σκοτώνει μόνο γάτες ή εμπλουτίζει το κουτσομπολιό στη γειτονιά, αλλά και προάγει την αυτοβελτίωση, τη γνώση και γιατί όχι, την αγάπη των χαρτών!

Στο θέμα μας όλα ξεκινάνε από ένα παράδοξο (κάτι που συμβαίνει αλλά ακούγεται απίστευτο) ή παράξενο (κάτι που δεν μας είναι γνωστό και οικείο), το οποίο όμως προσθέτει πολλά στη «μαγεία των χαρτών» που μας αρέσει να πιστεύουμε ότι υπάρχει: η φυσική επιφάνεια μιας σφαίρας δεν μπορεί ποτέ να γίνει επίπεδη, χωρίς να «καταστραφεί», χωρίς να κοπεί, χωρίς να αλλοιωθεί. Αν το κόψιμο γίνει σωστά, οργανωμένα και με τάξη, δηλαδή «καθώς πρέπει», τότε το κομμένο επίπεδο μπορεί να ξαναγίνει σφαίρα! Επομένως το «καθώς πρέπει» είναι ένα σωστό κόψιμο της επιφάνειας της σφαίρας. Η ανθρώπινη διάνοια επινόησε, ως «καθώς πρέπει», το κόψιμο σε δώδεκα σφαιρικές ατράκτους εύρους 30 μοιρών, όπως φαίνεται στο Σχ. 1.

Σχήμα 1
Σχήμα 1

Αργότερα διατυπώθηκαν και οι μαθηματικοί τύποι που βοηθούν τη διαδικασία υπολογιστικής σχεδίασης για την κοπή της σφαιρικής επιφάνειας και την ανάπτυξή της σε επίπεδο, έτσι ώστε το σχήμα από το επίπεδο να μπορεί να επιστρέψει στην σφαιρική του μορφή. Με αυτόν τον τρόπο κατασκευάστηκαν και συνεχίζουν να κατασκευάζονται οι υδρόγειες σφαίρες, ιστορικές και σύγχρονες, σε σμίκρυνση, όπως φαίνεται στο Σχ. 2, με τις γνωστές ατράκτους του Waldseemüller των αρχών του 16ου αι.

Σχήμα 2
Σχήμα 2

Όμως από τα παραπάνω φαίνεται ότι το «τέχνασμα», γνωστό από αιώνες, έχει μεν σημαντική πρακτική αξία για την υλική κατασκευή υδρογείων σφαιρών, αλλά οι άτρακτοι δεν εξυπηρετούν τη χρήση του επιπέδου χάρτη ως αδιατάρακτης εικόνας της γης, γιατί δεν εξασφαλίζεται το συνεχές της, όπως διατηρείται στη σφαίρα. Άλλο παράδοξο κι αυτό!
Η λύση για μια χωρίς κοψίματα και ασυνέχειες επίπεδη εικόνα της σφαιρικής γης βρέθηκε από τα μαθηματικά, που εξασφάλισαν μεν τη συνέχεια της εικόνας στον χάρτη αλλά όχι και την ανώδυνη επιστροφή της στη σφαίρα! Έτσι επινοήθηκαν οι μαθηματικές «χαρτογραφικές απεικονίσεις» της γήινης σφαίρας σε επίπεδο χάρτη, διατηρώντας τη συνέχεια και αντικαθιστώντας τα κοψίματα της εικόνας με την «παραμόρφωσή» της. Οι εικόνες της γης στο επίπεδο, δηλαδή οι χάρτες, δεν καταστρέφονται με κοψίματα αλλά παραμορφώνονται. Έτσι η εικόνα κέρδιζε το κόψιμο και το συνεχές του περιεχομένου της, αλλά έχανε την αρχική πιστότητα της μορφής της. Είναι αυτό που λέμε στην καθημερινότητά μας θυμοσοφώντας ότι δεν μπορούμε να τα έχουμε όλα στη ζωή!...
Ο Πτολεμαίος διατύπωσε πρώτος την απεικόνιση της σφαιρικής γήινης επιφάνειας σε χαρτογραφικό επίπεδο χρησιμοποιώντας το ζεύγος των δύο αριθμών (φ, λ) της γεωγραφικής ταυτότητας που έχει κάθε σημείο της γήινης σφαίρας, το γεωγραφικό πλάτος (φ) και το γεωγραφικό μήκος (λ), και τους δύο αριθμούς (y, x) της ταυτότητας της εικόνας του σημείου στο επίπεδο του χάρτη, το (y) και το (x) αντίστοιχα προς το (φ) και το (λ) της σφαίρας. Σε αυτό τον βοήθησε η γνώση του ορθογώνιου συστήματος των μεσημβρινών και παραλλήλων της γήινης σφαίρας (χάρις στον Ίππαρχο) και του ορθογώνιου συστήματος των γραμμών αναφοράς κατά το πλάτος και κατά το μήκος της Γης, με κέντρο τη Ρόδο (χάρις στους Δικαίαρχο και Ερατοσθένη) –το σύστημα που ανακάλυψε πολύ αργότερα ο Καρτέσιος και πήρε το όνομά του. Ο Πτολεμαίος επινόησε τη σχέση της ταυτότητας του σημείου στη γήινη σφαίρα με την ταυτότητα της εικόνας του στο επίπεδο του χάρτη. Η σχέση εξασφάλιζε τις ιδιότητες της απεικόνισης και το είδος της παραμόρφωσης που δημιουργούσε στην εικόνα. Σήμερα λέμε αυτή τη σχέση χαρτογραφική προβολή, χάριν συντομίας f, και συμβολίζουμε τη διαδικασία της μετάβασης από τη γήινη σφαίρα στον χάρτη ως f : (φ, λ) → (y, x).
Οι άνθρωποι προσδιόριζαν από παλιά τη δεδομένη ταυτότητα (φ, λ) των σημείων στην γήινη σφαίρα, παρατηρώντας και μετρώντας προς τα άστρα και τον χρόνο –διορθώνοντας συνεχώς τα αποτελέσματα–, όπως γίνεται και σήμερα εύκολα και γρήγορα με το GPS. Το f –ενσωματώνοντας σε αυτό και τη σμίκρυνση/κλίμακα–ρυθμίζει τα πάντα στη δημιουργία των εικόνων των χαρτών –και των παραμορφώσεων– όπως τις έφτιαχναν και συνεχίζουν να φτιάχνουν οι χαρτογράφοι με επιστημοσύνη. Διαθέτοντας ως δεδομένα τα (φ, λ) ήταν –και είναι– εύκολο να υπολογιστεί η ταυτότητα (y, x) στο επίπεδο, κάθε φορά διαφορετική, ανάλογα με το f που χρησιμοποιείται για την παραγωγή αντίστοιχου χάρτη, όπως στο (Σχ. 3).

Σχήμα 3
Σχήμα 3

Οι εικόνες των χαρτών που δημιουργούνται εδώ, ως παραδείγματα τριών χαρτογραφικών προβολών f1 (Tετραγωνική, Μαρίνος ο Τύριος, 100 μ.Χ.), f2 (August/Bellermann, 1874) και f3 (Mollweide/Babinet, 1805/1857) σε διαφορετικές μορφές και γεωμετρικές ιδιότητες (προέρχονται, ειδικά για τον Χάρτη, από πρωτότυπες επεξεργασίες ενός χάρτη του Matthew Carey 1792, ελεύθερα διαθέσιμου στο διαδίκτυο) δεν μπορούν να «επανέλθουν» στη σφαιρική επιφάνεια, στη μορφή από την οποία ξεκίνησαν, αντίθετα από ό,τι συμβαίνει με τους ατρακτοειδείς χάρτες (Σχ. 4)

Σχήμα 4
Σχήμα 4

Αλλά γιατί άραγε ένα τέτοιο θέμα να ψάχνει το ενδιαφέρον του Χάρτη και των αναγνωστών του; Γιατί μας αρέσει, ελπίζω, οι διαφορετικές εικόνες χαρτών να διατηρούν το μυστήριο και τη γοητεία του παιχνιδιού με τις χαρτογραφικές προβολές, τις παραμορφώσεις και τους μορφικούς μετασχηματισμούς τους, που τις περισσότερες φορές είναι και πολύ χρήσιμες σε διάφορες επιστημονικές και τεχνικές εφαρμογές. Όμως εκτός από χρήσιμες προκύπτουν και όμορφες εικόνες, όπως π.χ. όταν χρησιμοποιηθούν οι ταυτότητες (y, x) σημείων στον χάρτη για να δημιουργηθούν νέες (y΄, x΄) σε άλλους χάρτες, χρησιμοποιώντας κάποιες από τις χαρτογραφικές προβολές f : (y, x) → (y΄, x΄). Αυτό δηλαδή που μας προέκυψε αναπάντεχα όταν δοκιμάσαμε την εφαρμογή της χαρτογραφικής πολικής προβολής στον ατρακτοειδή χάρτη του Σχ. 4: η έκπληξη του χάρτη μαργαρίτα (Σχ. 5).

Σχήμα 5
Σχήμα 5
 

αυτόν τον μήνα οι εκδότες προτείνουν: